Représentation graphique de la relativité générale

  Modèle graphique de la relativité restreinte :

  Le temps selon la relativité restreinte n’est pas, comme on le pensait depuis toujours et notamment depuis Newton une donnée absolue mais il dépend du référentiel dans lequel on se trouve.

Un mobile se déplaçant à une vitesse V dans un référentiel donné aura un temps propre:  

  t= t₀*(1-V²/C²)^1/2

Dans un référentiel donné, le mobile en déplacement  sera représenté par un point A placé sur la circonférence d’un cercle de rayon unitaire de façon à faire avec l’axe horizontal un angle α tel que AH/OC= V/C= SIN α.  Plus la vitesse de A sera élevée entre 0 et π/2, plus l’angle α sera grand.

Dans notre modèle OC = 1 représente la valeur relative de la vitesse de la lumière (environ 300 000 km/s)

 

Nous observons que AH est égal à 0 lorsque sa vitesse est nulle dans le référentiel considéré et qu’il est égal à 1 lorsque sa vitesse atteint la vitesse de la lumière.

Un mobile au repos se trouve  sur l’axe horizontal et décrit l’arc de cercle AC quand sa vitesse augmente en passant de 0 à  C.

Temps relativiste :

Dans cette représentation si OH est la projection de OA sur l’axe horizontal

AH²+OH²=OA² = 1

OH²= (1-AH²) = (1-V²/C²)

OH= (1-V²/C²) ^1/2

Puisque OL=1                    OH=OL*(1-V²/C²)^1/2     

Le temps relativiste au repos est par définition le temps unitaire =1   

D’où                                       OH=t₀*(1-V²/C²)^1/2

La longueur du segment OH dans le modèle est bien égale au temps relativiste à la vitesse v représenté en valeur relative par rapport au temps unitaire au repos

Conclusion : Notre modèle représente la vitesse et le temps relativiste correspondant. Ce temps relativiste est égal à 1 au repos et égal à 0 pour V=C

Dans la suite de cette étude, nous représenterons la vitesse absolue par V et la vitesse relative par v, le temps entre deux évènements par T et l’unité de temps relativiste par t.

Représentation graphique de la relativité générale :

Rappel : Les lois de la mécanique classique de Newton nous donnent la relation qui relie la gravité G en un point de l’espace A engendré par une masse gravitationnelle M lorsque A est à une distance X du centre de gravité de M :

  G= k*M/X² dans laquelle k est la constante gravitationnelle universelle est vaut 6,6742.10-11 N·m2·kg-2

Equation de la chute libre totale :

La chute libre totale d’une masse m sous la seule influence gravitationnelle de M (cas théorique) se produira pour une masse m lâchée avec une vitesse initiale nulle à une distance théoriquement infinie de O et arrivant sans obstacle jusqu’au centre de gravité de M. Sa vitesse va croitre de 0 à la vitesse maximale lorsqu’elle atteindra le centre de gravité de M. On supposera dans un premier temps que le rayon de M  est nul (pour ne pas que la surface de M fasse obstacle à la chute jusqu’à O).  Par la suite de cette étude, nous appellerons cette chute libre totale simplement « chute libre »

Calculons les équations qui régissent cette chute libre en appliquant les lois de la physique classique.

Pour simplifier les équations, nous allons par convention placer les origines de l’espace et du temps au point O, centre de gravité de M. Dans ces conditions tous les temps de chutes seront négatifs puisque situés dans le passé de l’impact. Avec cette convention, nous pouvons écrire :

G=dV/dT= dV /dX*dX/dT= kM/X²

En remplaçant dX/dT par V :

VdV=( kM/X²) *dX

En intégrant les deux membres V²/2= -kM/X   (X est négatif  et –kM/X est donc positif)

On en déduit que X=-2kM/V²  

Avec V= C COS  α                   X= -2kM/C²COS²α                    dX/dα =( 2kM/C²)*( -2COSα SIN α dα)

dX/dT= V= CCOS α  = dX/dα  * dα /dT= ( 2kM/C²)*( -2COSα SIN α dα)*(dα /dT)

dT/dα= (4kM/C³)*SINα*COS^-3α

T= - (4kM)/(3C³COS³α)

On en déduit les relations de V et de G avec T 

En dérivant cette expression de X , on trouve :

X= - (9kM/2)^1/3* (-T)^2/3

V=- (2/3)*(9kM/2)^1/3* (-T)^-1/3

G= - (2/9)*(9kM/2)^1/3 *(-T)^-4/3

Ces 3 relations nous permettent de relier les vitesses, accélérations et distances.

V²=-2kM/X

V⁴=4kMG

G=kM/X²

Nous retiendrons notamment la relation V⁴=4kMG qui nous permet de relier la gravité en un point et la vitesse en chute libre d’une masse m venant de l’infini et accélérée par la masse gravitationnelle M.

Représentation graphique :

Notre représentation graphique présente l’intérêt de représenter toutes les paramètres sous forme relative de façon à les représenter dans notre cercle de rayon unitaire et de simplifier grandement les calculs de la relativité générale.

Nous savons que v=V/C=SIN α. Nous pouvons en déduire la relation entre α et la gravité puisque V⁴=4kMG

V⁴= C^4*V⁴ = C⁴*COS⁴ α = 4kMG

COS α = 1/C*(4kMG)^1/4

  Ou bien par rapport à X

COS α = 1/C*(-2kM/X)^1/2

En utilisant dans notre modèle l’angle α, nous pouvons indifféremment représenter la gravité, la vitesse de chute libre ou le temps relativiste. Nous mettons ainsi en évidence que les mouvements. des corps sont bien dus aux courbures de l’espace introduits par des masses gravitationnelles. Notre modèle de représentation de la relativité généralisée devient :

V⁴=4kMG

G=-V⁴/4 kM=C⁴v⁴/ 4kM

Quelle valeur prend G lorsque v=1 (V=C)? Il suffit de faire v=1 et on trouve que

G_H = C⁴/ 4kM

v⁴=V⁴ / C⁴=4kMG/C⁴=G/ G_H = g= COS⁴α

COS⁴α =G

La gravité relative (par rapport à la gravité en C où v=C) est représentée par la puissance 4 du COS de l’angle α de notre modèle

Relation entre α et X

COS ⁴ α =4kMG/C⁴=4kM*kM/X²C⁴

COS ² α= -2kM/ C²X

Voici en résumé les valeurs des paramètres relativistes en valeur relative sur notre modèle :

La gravité relative sera rapportée à la  gravité  sur l’horizon gravitationnelle G_H = C4/ 4kM.

G_H=C⁴/ 4kM

La distance parcourue relative sera rapportée au rayon de l’horizon gravitationnel R_H qui vaut :

R_H= 2kM/C²

Vitesse:                              v= COS α                                             v=V/C

Gravité                                g= COS⁴α                                            g=G/G_H              

Masse                                  m= 1/SIN α

Espace-temps                   t=SIN α             

Note : Ne pas confondre T qui est une durée entre deux évènements avec t qui est l’unité de temps relativiste .

Horizon gravitationnel:

COS α ne peut dépasser 1 donc la valeur maximum de X sera telle que 2kM/ C²x=1

X ne pourra dépasser la valeur de 2kM/ C².  La valeur limite de la distance au centre de gravité est appelée l’horizon gravitationnel qui présente un intérêt majeur dans l’étude des trous noirs. Cette valeur est appelée rayon de Schwartzschild R_h

R_h=2kM/ C²